Baz, yan ve tam: Nasıl bir piramit alanı hesaplamak için?

matematik öğrencileri sınav için hazırlık cebir ve geometri bilgisine sistematize zorundayız. Böyle bir piramidin alanı nasıl hesaplanacağı gibi bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyoruz. Ayrıca, alt ve yan başlayarak tüm yüzeyi kadar karşı karşıyadır. Yan onlar üçgenler gibi durum açıktır yüzleri ise taban her zaman farklıdır.

Nasıl piramidin tabanının zaman alanı olarak?

Bu n-gon için keyfi bir üçgen oldukça herhangi figür olabilir. Ve açıları sayısındaki farkı dışında bu baz ile, doğru veya yanlış şekil olabilir. sınav öğrenciler görevlerin ilgi tabana doğru rakamlarla sadece iş buldu. Bu nedenle, sadece onlarla bahsedeceğiz.

eşkenar üçgen

Bu eşkenar olduğunu. tüm tarafların eşit ve harfi "a" tarafından belirlenir biri. Bu durumda, piramidin tabanı alan aşağıdaki formüle göre hesaplanır:

S = ⁽² * √3) / 4.

kare

: Yan yine - formül "" kendi alanı, en basit olduğunu hesaplamak

Ve G = ^2.

Keyfi düzenli n-gon

poligonun aynı tanımı yanlarında. açıları sayısı için Latin harfli n kullandı.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Nasıl yanal ve tam yüzeyin alanının hesaplanmasında girmek için?

taban Şekil doğru olduğu için, daha sonra piramit bütün yüzleri eşittir. yan kenarlar eşittir çünkü bunların her biri, bir ikizkenar üçgendir. Daha sonra, piramidin bir tarafı alanını hesaplamak için aşağıdaki formüle denk monomials toplamından oluşan gerekir. terimi sayısı taban yanı miktarı tarafından belirlenir.

ikizkenar üçgen alanı temel ürünü yüksekliğinin yarısının ile çarpılması suretiyle, aşağıdaki formül ile hesaplanır. piramidinde Bu yükseklik apothem denir. Onun gösterilme - "A". şu şekilde yan yüzey alanı için genel formül şöyledir:

S = ½ P * A, burada P - piramidin tabanında çevre.

Orada taban tarafına bilinmemektedir kez, ancak yan kenarlar düz ve apeks (α) açı (a) bileşiklerdir. Daha sonra, piramidin yan alanını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanmak dayanır:

S = n / 2 ila ² * sin α.

Görev 1 №

Durum. baz ise, piramidin toplam alanı bulmak bir eşkenar üçgen 4 cm bir tarafı ile ve değer √3 apothem cm.

Karar. Bu taban çevresi hesaplanması ile başlamalıdır. Bu daha sonra düzenli üçgen, p = 3 * 4 = 12 cm apothem Bilindiği gibi, bir hemen bütün yanal yüzeyi :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2 alanı hesaplamak ^olduğu.

taban üçgen elde etmek için bölgede (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^{sm2 değeridir.}

6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2: tüm alanı belirlemek için iki elde edilen değerlerin misli ^gerekir.

Cevap. 10√3 ^cm2.

Sorun 2 №

Durum. Düzenli dörtgen piramit vardır. 16 mm - taban uzunluğu 7 mm, yanal kenarına eşittir. Bunu yüzey alanını bilmek gerekir.

Karar. polihedron yana - dikdörtgen ve doğru, tabanında bir karedir. Baz alanı İşitme ve yan yüzler kare piramit saymak mümkün. kare için formül, yukarıda verilmiştir. Ve üçgenin bütün yan yüzleri biliyorum. Bu nedenle, onların alanlarını hesaplamak için Heron formülü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basit ve bu rakama ulaştırıyor: 49 mm ^2. İkinci değerini hesaplamak için semiperimeter gerekir: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Şimdi bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 ^mm2. Orada dört üçgen, yani nihai rakamları hesaplanırken 4 ile çarpılır gerekecektir.

Elde edilen: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Cevap. ² mm 267,576 gereken değeri.

Görev 3 №

Durum. Düzenli dörtgen piramit At alanı hesaplamak için gereklidir. Bu kare yan bilinmektedir - 6 cm ve yükseklik - 4 cm.

Karar. en kolay yolu, çevre ve apothem çarpımına formül kullanmak. ilk değer basitçe bulunur. İkinci biraz daha zor.

Biz Pisagor teoremini hatırlamak ve düşünmek gerekir bir dik üçgen. Bu hipotenüsüdür piramit ve apothem, yüksekliği ile oluşturulur. Bir polihedron yüksekliği bunun ortasında düştüğünde ikinci ayağı, kare yarı tarafıdır.

Kayırılmış apothem (bir dik üçgen hipotenüs) ⁽² Mart ² + ⁴⁾ = 5 (cm) √ eşittir.

Şimdi istenen değeri hesaplamak mümkündür: ½ * (4 x 6) * 5 + 6 ² = 96 ^(cm2).

Cevap. 96 ^cm2.

Sorun 4 №

Durum. Dana düzenli altıgen piramit. 22 mm'ye eşit bir baz kenarları, yan kenarlar - 61 mm. Bu çok yüzlü cisim yanal yüzeyinin alanı nedir?

Karar. Görev №2 açıklandığı gibi o akıl aynıdır. Sadece piramit üssünde kareye orada verildi ve şimdi bir altıgen olduğunu.

İlk adım, yukarıdaki formül ^{(6 x 22 2) / (taban} alanı ile hesaplanır 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Şimdi bir yan yüzü olan bir ikizkenar üçgen, yarı çevresini bulmalıyız. (22 ± 61 * 2) :. = 72 cm2 üçgenin her alanını hesaplamak ve sonra altı kat ve tabana çıktı bir ile çarpmak Heron formül kalır.

Heron formülü Hesaplamalar: V (72 * ^{(72-22) * (72-61) 2} ) = √435600 = 660 ^cm2. 660 * 6 = 3960 cm ^2: Hesaplamalar yanal yüzey alanı ^sağlayacak. 5217,47≈5217 cm ^2: Bu bütün yüzeyi öğrenmek için onları eklemek ^kalır.

Cevap. Zemin - 726√3 ^cm2 yan yüzeyi - 3960 ^cm2, tüm alanı - 5217 ^cm2.