Aritmetik nedir? aritmetiğin temel teoremi. ikili aritmetik

aritmetik nedir? insanlık başladığında numaralarını ve onlarla çalışmak için? Nerede sayılar gibi gündelik kavramların kökleri olan kesirler, çıkarma, toplama, çarpma, o kişi hayatının ve görünümünü ayrılmaz bir parçası haline gelmiştir? Yunan beyinler insan mantığının güzel senfoni olarak, matematik, aritmetik ve geometri gibi bilimler hayrandı.

Belki matematik diğer bilimlerde olduğu kadar derin değildir, ancak bunların ne olacağını, insanların temel çarpım tablosunu unutmak? bize tanıdık mantıksal düşünme, insanlara zor anlar vermek sayılar, kesirler ve diğer araçları kullanarak ve uzun süre Atalarımızın mevcut değildi. Aslında, aritmetik gelişmeden önce insan bilgisinin hiçbir alanı gerçekten bilimsel değildi.

Aritmetik - Matematik alfabesidir

Aritmetik - herhangi bir bireysel matematik büyüleyici dünya ile tanıdık başlar hangi sayıların bilimi,. M. V. Lomonosov deyişle, aritmetik - Bu Miropoznanie bizim için yol açarak, öğrenmenin kapısı. Ama o haklı, dünyanın bilgi harf ve rakamlardan, matematik ve konuşma bilgisi ayrılabilir mi? Belki eski günlerde değil, bilim ve teknolojinin hızlı gelişimi, kendi yasalarını yapar modern dünyada, içinde.

Kelime "aritmetik" Yunan kökenli (K. "Arifmos"), "sayısını" anlamına gelir. Bu sayı ve onlarla ilişkili olabilir hepsi inceler. Bu sayıların dünya: numaraları, sayısal kurallara çeşitli operasyonlar, böylece çarpma, çıkarma ile ilişkilidir ve görevler ..

Genellikle ilk aşama aritmetik Matematik ve cebir, matematiksel analiz gibi daha karmaşık bir bölümünün, katı baz, daha yüksek matematik ve t olduğu kabul edilmektedir. D.

Aritmetik ana amacı,

Aritmetik temeli - yüksek aritmetik veya kabul edilir bir tamsayı, özellikleri ve yasaları olan sayılar teorisi. matematik - doğru yaklaşım binanın gücüne bağımlı bir doğal sayı olarak, böyle küçük birimin dikkate alınır nasıl Aslında, içinde.

Bu nedenle, aritmetik olduğu soru, cevap basit: o sayıların bilim dalıdır. Evet, her zamanki yedi, dokuz ve bu farklı topluluğun tüm ilgili. aritmetik bile temel görevleri çözülemez olmadan Ve sadece de ve en vasat ayetler, temel alfabenin olmadan yazamazsınız. Bütün bilimler varsayımların öncelikle seti olduğu sadece aritmetik ve matematik geliştikten sonra gelişmiş yüzden.

Aritmetik - fen-hayalet

doğa bilimi ya da hayalet - aritmetik nedir? Antik Yunan filozofları gerekçeli olarak Aslında, hiçbir sayılar, gerçekte hiçbir rakamlar yok. Bu çevreyi ve süreçlerini izlerken insan düşüncesi oluşturulur sadece hayali, bu. Aslında, numarası nedir? Hiçbir yerde etrafında biz böyle bir şey numarası denilebilir görmüyorum doğrusu, sayı - bu insan zihninin dünyayı keşfetmek için bir yoldur. Belki de kendi içlerine var bu çalışma? Filozoflar bu yüzden yapmayan ayrıntılı bir cevap vermek için, üst üste yüzyıllar boyunca bu tartışırlar. Her iki şekilde de, aritmetik böylece sıkıca modern dünyanın hiç kimse sosyal temellerine bilgisi dışında adapte kabul edilebilir konumlarını sürebilir.

pozitif tam sayı oldu gibi

doğal sayı gibi, 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... vs - Tabii ki, temel amacı olan aritmetik, faaliyet doğal sayılar aritmetik bir çayır inekler gibi sıradan nesneler, pahasına sonucudur. Yine de, bir şey insanları tutmak için durdurdu ve daha sofistike sayma tekniğini icat etti "çok" ya da "küçük" tanımı.

Ama asıl atılım insan zihni bir ve belirtmek için "iki" ve 2 kg aynı sayıda ve 2 tuğla ve 2 parça olabilir noktaya ulaştığında geldi. o formlar, özellikleri ve nesnelerin anlamını gelen soyut gerekli olması, o zaman pozitif tamsayılar şeklinde bu nesnelerle biraz hareket üretebilir. Böylece daha gelişmiş ve toplumda bir konum işgal etmekte genişletilir sayıların aritmetik, doğdu.

Böyle derinlemesine sıfır ve negatif sayılar, kesirler olarak sayının kavramı, sayılar, başka şekillerde numaraları ifade gelişim zengin ve ilginç bir geçmişi var.

Aritmetik ve pratik Mısırlılar

dünyanın çalışma ve gündelik sorunların çözümünde iki eski insan arkadaşı - Bu aritmetik ve geometri.

Hindistan, Mısır, Babil ve Çin'de: aritmetiğin tarihi Eski Doğu kökeni olduğuna inanılmaktadır. geri XX yüzyıldan kalma Yani, Rhind papirüs Mısır kökenli (aynı ad sahibine ait çünkü adlandırılmıştır). BC, diğer değerli verilerin yanı sıra paydaları ve bir eşit pay fraksiyonların miktarda bir fraksiyonunun genişleme içerir.

Örneğin: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Ama böyle bir kompleks ayrışma anlamı nedir? Mısır yaklaşım numaraları düşünmeye soyutlanmış tahammül etmez aslında, tam tersine, hesaplamalar sadece pratik amaçlar için yapılmıştır. Yani Mısırlıların sadece örneğin mezar inşa etmek için, hesaplamalar gibi iş yapan edilecektir. Yüzgeç yapısının uzunluğunu hesaplamak için gerekli olduğunu ve bir kişinin papirüs oturmak için yapılmış. Görüldüğü üzere, hesaplamalarda Mısır ilerleme ziyade bilim sever daha inşa etmeyi masif, adlandırıldı.

Bu nedenle, papirüs üzerinde bulunan hesaplamalar, kesirler konusunda yansımalarını denilen edilemez. Büyük olasılıkla, daha da kesirler ile ilgili sorunları çözmek için yardımcı pratik bir hazırlık vardır. Eski Mısırlılar çarpım tablosunu bilmiyordu, birçok alt görevler içine yayılmış, oldukça uzun hesaplamalar üretti. Belki de bu o alt görevler biridir. Boşlukları ile hesaplamalar çok zaman alıcı ve çok umut verici olmadığını fark etmek kolaydır. Belki de bu nedenle biz eski Mısır matematik gelişmesine büyük katkı görmüyorum.

Antik Yunan ve felsefi aritmetik

Eski Doğu bilginin çoğu başarıyla soyut soyut ve felsefi yansıma hayranları tarafından bilinen antik Yunanlılar tarafından hakim bulundu. az şey onları ilgilenen ama en iyi teorisyen ve düşünürler bulmak zor uygulayın. matematik gerçeklikle yırtmadan değil, derin gitmek mümkün değildir, çünkü bilim için iyi oldu. Tabii ki, 10 inek ve 100 litre süt çarpın, ama çok hareket mümkün olmayacaktır mümkündür.

Yunanlılar derinden tarihinde önemli iz bırakan düşünce ve eserleri bize gelmiş:

• Öklid ve "Elemanlar".
• Pisagor.
• Arşimet.
• Erastotenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Ve tabii ki, Yunanlıların tüm felsefesini çevirir ve Pisagor vakalarının özellikle takipçileri onları bir sır Dünya uyum kabul numaraları, hakkında çok tutkulu. sayılar öylesine okudu ve onları ve onların çiftlerin bazı özel nitelikleri atfedilen olduğu, araştırılmıştır. Örneğin:

• Mükemmel numaraları - sayısı kendisi (6 = 1 + 2 + 3) hariç tüm bölenler toplamı olanlar.
• Uygun numaraları - ikinci ve tersi tüm bölenler toplamı bunlardan biri, bu sayılar, (220 ve 284 Pisagor sadece tek bir çift biliyoruz).

Bu bilim değildir kazanç uğruna onunla birlikte olmak için, sevilmek gerektiğini inanılan Yunanlılar, keşfetmek oynayan ve sayılar ekleyerek, büyük atılımlar yaptık. Bunlardan bazıları sadece vardı onların araştırmanın tüm yaygın kullanılmış olduğu unutulmamalıdır "güzellik için."

Ortaçağ Doğu düşünürler

Benzer şekilde, ortaçağda bu doğu çağdaşlarına gelişimini borçlu aritmetik. Hintliler bize aktif böyle "sıfır" gibi bir şey, ve pozisyon varyasyonu kullanmak rakamlar verdi hesaplama sistemi, her zamanki gibi modern algı. 15. yüzyılda Semerkant'ta çalıştı Al-lapası, itibaren, onlardan günümüze ondalık sayılar, modern aritmetik hayal etmek zor onsuz.

Doğu başarıları oryantal yeniliklerle tanımak, bir kitap "Liber Abacı" yazdı İtalyan bilim adamı Leonardo Fibonacci, çalışmalarına sayesinde mümkün oldu birçok yönden, Avrupa haberdardır. Avrupa'da cebir ve aritmetik, araştırma ve bilimsel faaliyetlerin geliştirilmesi temel taşı haline gelmiştir.

Rus aritmetik

Son olarak, aritmetik, yerini buldu ve Avrupa'da köklü etti, Rus karada yayılmaya başladı. Rus İlk aritmetik 1703 yılında yayınlanan - bu aritmetik Leontiya Magnitskogo hakkında bir kitap oldu. Uzun bir süredir bu matematikte sadece öğretici oldu. Bu cebri ve geometri ilk anları içerir. Aritmetik Rusya'nın ilk ders kitabı, Arapça örnekleri kullanılmıştır rakamlar. Her ne kadar Arap rakamları 17. yüzyıla kadar uzanan gravürler de, daha önce tanıştım.

kitabın kendisi Arşimed ve Pisagor resimleri ile dekore edilir ve ilk sayfa üzerinde - bir kadın olarak görüntü aritmetik. Tanrı'nın adını İbranice kelime yazılır altında O, tahtta oturur ve benzeri kelime "bölünme", "Artış", "ek" ile yazılı ve dünya evine girmek adımlar üzerinde. D. Bir tek ihanet hangi değeri tahmin edebilirsiniz artık olağan kabul edilir tür gerçekler.

600 sayfalık ders kitabı gibi toplama ve çarpma tabloları ve seyrüsefer bilimler için uygulamaların temel olarak tarif eder.

Kendisi "Aritmetik ... nezavistnoe, adil orada sanat chislitelnitsa gelmiştir" diyerek, aritmetik güzelliği ile büyüledi çünkü Beklendiği gibi, yazar, kitabında Yunan düşünürleri imajını seçmiştir. onun yaygınlaşmasının Rusya ve genel eğitimde bilimsel düşüncenin hızla gelişmesi başlangıcı olarak kabul edilebilir, çünkü aritmetik Bu yaklaşım iyi kurulmuştur.

huzursuz asal

- Başbakan numarası olduğunu bir doğal sayı, 1 ve kendisinden: sadece 2 pozitif bölenler olduğunu. 1 hariç tüm diğer sayılar, kompozit denir. asal sayıların örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, ve 1 dışında bölenler ve sayı kendisi olmayan diğerleri.

1 numara için, bu rağbette olduğu gibi - bu ne basit ne de bileşik düşünülmelidir mutabakat vardır. İlk bakışta basit, basit bir numara kendi içlerinde birçok çözülmemiş gizemleri gizler.

Öklid teoremi sonsuz asal sayısı ve Eratosthenes yalnızca basit bırakarak karmaşık sayılar ortadan kaldırır özel bir aritmetik "elek", ile geldi söylüyor.

Özünde ilk geri numarayı vurgulamak ve daha sonraki çarpıcı dışarı olanlar bunun katları olması. Biz bu işlemi birkaç kez tekrarlamak - ve asal sayıların bir tablo olsun.

aritmetiğin temel teoremi

asal sayılarla ilgili gözlemler arasında özel olarak temel aritmetik teoremini bahsetmek gerekir.

Temel aritmetik teoremi herhangi bir tamsayı 1'den büyük veya basit devletler veya tekrarlama faktörleri, tek yol sırasına kadar asal sayıların bir ürüne ayrılacak olabilir.

aritmetiğin temel teoremi oldukça hantal kanıtladı ve sadece temelleri gibi değil anlayış.

İlk bakışta, asal sayılar At - İlköğretim kavram, ama öyle değil. o bir evrenin içinde bulunan dek Fizik ayrıca bir kez, ilköğretim atom düşündü. Asal sayılar güzel bir hikaye matematikçi Don Zagier adanmış "ilk elli milyon asal sayılar."

tümdengelim yasalara "üç elma" Kimden

aritmetik yasaları - Bu gerçekten tüm bilim güçlendirilmiş bir vakıf çağrılabilir. Çocukken bile bütün aritmetik yüz, böylece bebek de bacak ve kolların sayısını, küpler, elma sayısını ve eğitim. D. O halde, biz daha karmaşık kurallar içine ilerledikçe aritmetik, inceliyoruz.

Bizim bütün hayatı bütün bu bilimin en yararlı veren ortak adam içindi aritmetik kurallara bize tanıtır. sayılar çalışma - erken çocuklukta basamak olarak sayıların dünyasına insanı tanıtır "Aritmetik-bebek" dir.

Daha yüksek Aritmetik - aritmetik yasalarını inceleyen tümdengelim bilimi. Bunların çoğu belki biz onların bire bir aynısını bilmiyorum ama, biliyorum.

Toplama, çarpma yasası

Herhangi iki tamsayı a ve b, aynı zamanda doğal bir sayıdır, a + b, toplamı olarak ifade edilebilir. Aşağıdaki kanun, ek ilgili olarak:

• Değişmeli, terimlerin permütasyon değişmez miktarını yerleştirir veya a + b = b + a söylüyor söyledi.
• toplam yerlerde koşullar gruplandırma yöntemine ya da bir (+ B + C) = bağımlı değildir bahsedilen ilişkilendirilebilir (a + b) + c.

Böyle ek olarak aritmetik kuralları, - Temel biri, ancak günlük yaşamı saymıyorum tüm bilimler, kullanılmaktadır.

Herhangi iki tamsayı, a ve b bir ürün ya da aynı zamanda, bir doğal sayıdır bir b * a * b * olarak ifade edilebilir. eklenmesinden olarak ürün aynı değişmeli ve ilişkisel yasalarını uygulamak için:

• a * b = b * a;
• a * (B * C) = (a * b) * c.

Aynı zamanda bir dağıtımı veya dağıtıcı yasası olarak bilinen toplama ve çarpma, birleştiren bir yasa olduğunu ilginçtir:

bir (b + c) '= ab + AC

Bu yasa dolayısıyla biz zaten daha karmaşık formüllerle çalışabilir, açmadan, parantez çalışmak için bize öğretir. Bunlar cebirin tuhaf ama karmaşık dünyasında rehberlik edecek yasalardır.

Kanun aritmetik düzen

İnsan mantığı yasaları hakkında o saatine kontrol ve faturaları sayma, her gün kullanmaktadır. Ve yine, ve belirli bir dile yapılmalıdır.

iki pozitif tamsayılar a ve b, daha sonra aşağıdaki seçenekleri varsa:

• a = b b eşittir, ya da;
• Bir daha b veya
• bir b ya da bir> b 'den daha büyüktür.

üç seçenekten sadece tek biri olabilir. prosedür tabi Temel Kanunu,: a

Toplama, çarpma sırasına eylemlerini bağlayan yasa daha vardır: a

aritmetik yasaları numaralarının uyumlu senfonisinin içine her şeyi dönüm, sayılar, işaretler ve parantez ile çalışmak bize öğretti.

Konumsal ve pozisyonel olmayan numaralandırma sistemi

Bu çok şey bağlıdır ki rahatlığı matematik dili olan - Biz numaralar söyleyebiliriz. Farklı dillerin alfabe farklılık gibi hesaplama birçok sistemler vardır.

Bu pozisyonda basamak kantitatif değeri üzerindeki etkisi pozisyonları açısından sayı sistemi düşünün. her bir numara özel karakterler, spesifik bir dizi ile kodlanan Mesela, Roma sistemi pozisyonel olmayan bir: I / V / X / L / C / D / M Bunlar sırasıyla sayılardır 1/5/10/50/100/500 / 1000. Bu sistemde, figür hangi pozisyonda olması gerektiği de bağlı olarak nicel belirlenmesi değişmez: diğer numaraları almak için .. birinci, ikinci, vs., üssü bırakmaya gereklidir. Örneğin:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Daha tanıdık bize rakamı sistem Arap rakamları kullanılarak pozisyonel olduğunu. 333, 567, vb: Bu tip bir sistemde tahliye sayısı basamak sayısını, örneğin üç-haneli sayı tanımlar deşarj herhangi birine göre ağırlıkça ikinci konumda Şekil, bir ya da başka bir madde olduğu bir pozisyonda, örneğin şekil 8 bağlıdır Bu ondalık sistem için tipik olan 80 arasında bir değere sahiptir, örneğin, ikili, diğer konumsal sistemi mevcuttur.

ikili aritmetik

Biz tek-bit ve çoklu bit rakamdan oluşan, tanıdık ondalık sistemidir. basamaklı sayı Soldaki şekil sağda birine önemine on kat daha fazladır. Yani, biz 2, 17, 467, vb okumak için. D. O denir farklı bir mantık ve yaklaşım bölümüdür kullanılan "ikili aritmetik." İkili aritmetik insan mantığı için oluşturulan ve bilgisayar için değil, çünkü bu, şaşırtıcı değildir. sayıların aritmetik ayrıca konu mülkiyet "çıplak" aritmetik soyutlanmış sayma, kaynaklanmıştır, o zaman bu bilgisayarınızla çalışmaz. bilgisayar ile bilgilerini paylaşmak edebilmek için, bir erkek model hesaplama icat etmek zorunda kaldı.

İkili aritmetik sadece 0 ile 1 oluşuyor Ve bu alfabenin kullanılması bir ikili sistem denir ikili alfabe ile çalışır.

İkili aritmetik solun pozisyonunun önemi artık 10 olduğunu ondalık ve 2 kez aksine. İkili rakamlar bu sayıları anlamalıdır Nasıl 111, 1001 ve böyle devam eder. D. formunun nelerdir? Böylece, sayı 1100 düşünün

1. 1 * 8 = 8, bu 2 ile çarpılır gerektiği anlamına gelir dördüncü basamak, biz 8 sırayı elde akılda tutarak - Soldaki ilk basamak.
2. İkinci hane 1 * 4 = 4 (pozisyon 4).
3. Üçüncü hane 0 * 2 = 0 (konum 2).
4. Dördüncü hane 0 * 1 = 0 (konum 1).
5. Yani bizim sayı = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 1100.

o numaralarını kaydetmek için gerekli olan çok büyük büyüme bit olan: 10'a kadar Böyle bir sistem bir dezavantajı var - Bu ikili sistemde önemi solunda yeni bir kategori geçiş 2 ve ondalık ile çarpılır vardır. Örnekler ondalık sayılar aşağıdaki tabloda görülebileceği gibi dvochinyh.

Ondalık sayılar aşağıda ikili biçimde temsil edilir.

Ayrıca sekizlik kullanılan ve onaltılı sayı sistemi olduğunu.

Bu gizemli aritmetik

aritmetik, "İki artı iki" veya sayı keşfedilmemiş gizemleri nedir? Gördüğünüz gibi, aritmetik, can ve basit bir ilk bakışta görünüyor, ama bariz aldatıcı kolaylığı değil. Çocukları incelemek mümkündür ve birlikte karikatür "Aritmetik-bebek" dan Teyze Baykuş ile ve derin bilimsel araştırma neredeyse felsefi sipariş dalabilirsiniz. Tarihte bu sayıların güzelliği ibadet nesneleri sayma gitti. Bir şey kesin: aritmetik temel önermelerden kurulmasıyla, tüm bilim onun güçlü omuz güvenebilirsiniz.