Cramer kuralı ve uygulama

Cramer kuralı - çözümü için kesin yöntemlerden biridir lineer cebirsel denklemlerin (Slough) sistemlerini. Onun sistem matrisi belirleyicileri kullanımı nedeniyle doğruluk, hem de teoreminin kanıtı uygulanan kısıtlamalar bazı olarak.

katsayıları ait lineer denklem bir sistem, örneğin, R, bir çok sayıda - bilinmeyenler x1 gerçek sayılar, x 2, ..., xn ifadeleri bir koleksiyon

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = ile bi i = 1, 2, ..., m, (1)

nerede aij, bi - Gerçek sayılar. Bu ifadelerin her biri denir lineer denklem, bilinmeyenlerin katsayıları, iki - - denklem bağımsız katsayılar aij.

(1) çözeltisi ° = (x1 °, X2 °, ..., x n °), bilinmeyen x1 için sisteme hangi ikame olarak, x2, ..., xn sistemde hatlarının her biri en denklem haline X, N-boyutlu bir vektör de ifade .

Boş kümenin çözüm kümesi denk gelirse sistem, tutarsız en az bir çözümü varsa tutarlı olarak adlandırılır ve.

Cramer yöntemi kullanılarak Lineer sistem çözüm bulmak amacıyla, matris sistemleri temel sistemde bilinmeyen ve denklemler aynı sayıda, yani kare olmak zorunda olduğu unutulmamalıdır.

Yani, en azından bilmesi gerekir, Cramer yöntemi kullanmak Matrix'in ne doğrusal denklem sistemlerinin bir sistem ve düzenlenir. Ve ikinci olarak, matris ve hesaplama kendi becerilerinin belirleyici denir anlamak için.

Bize bu bilginin size sahip olduğunu varsayalım. Harika! Sonra sadece Kramer yöntemini belirleyen formülleri ezberlemek zorunda. ezber aşağıdaki biçimi kullanın basitleştirmek için:

• Det - Sistemin matrisinin temel belirleyicisi;

• deti - Öğeleri lineer denklem sağ yanlarının bir sütun vektörü matrisin i-inci sütun değiştirerek sisteminin birincil matrisinden elde edilen matris belirleyici;

• n - sistemdeki bilinmeyenler ve denklemlerin sayısı.

Daha sonra Cramer kuralı hesaplama i-inci bileşen * i (i = 1, .., n), n-boyutlu bir vektörü x şekilde yazılabilir

xi = deti / Det, (2).

Bu durumda, sıfırdan kesinlikle farklı Det.

o müştereken sıfıra sisteminin ana belirleyici eşitsizliği koşulu ile sağlanır sistemin çözümünün tekliği. (Xi) toplamı, kare, aksi halde, katı pozitif ardından SLAE bir kare matris olanaksız olduğunu. Bu deti Sıfır dışındaki en azından bir, özellikle oluşabilir.

Örnek 1. Cramer formülü kullanarak üç boyutlu LAU sistemini çözmek için.
2 x 1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x 1 + x2 + x3 = 2 29
3 x 1 - x2 + x3 = 10.

Karar. matrisin i-inci satır - biz Ai hattı ile sistem hattı matrisi yazmak.
A1 = (1 2 4), A2 (= 5 1, 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolon serbest katsayıları b = (Ekim 31 29).

Ana sistem belirleyici Det olduğunu
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 A32 - A13, A22 A31 - A11 A32, A23 - A33 A21 A12 = 1-20 + 12-12 + 2-10 = -27.

a11 = b 1, a21 = b2 a31 = b3 kullanılarak DET1 permütasyonunu hesaplamak. sonra
DET1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b 3 + a31 b2 a32 - a13 a22 B3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Benzer şekilde, det2 kullanım ikame Ra12 = b 1, a22 = b2 A32 = b3 hesaplamak için ve, buna bağlı olarak, det3 hesaplamak - A13 = b 1, a23 = b2 a33 = b3.
135 - Sonra o det2 = -108 ve det3 = kontrol edebilirsiniz.
(- 27) = 3, x 2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5 formüllere göre Cramer X1 = -81 / bulabilirsiniz.

Yanıt: X ° = (3,4,5).

Bu kuralın uygulanabilirliği dayanarak, Kramer lineer denklem sistemleri çözümü yöntemi, bir parametre k değerine bağlı olarak çözeltilerin olası sayı sistemi araştırmak için, örneğin, dolaylı olarak da kullanılabilir.

+ | | X + ky + 4 | <= 0, tam bir çözelti sahiptir - - y4 kx | Örnek 2. K parametresi eşitsizlik hangi değerleri de belirlemek.

Karar.
Her iki ifade, aynı anda sıfır, modül fonksiyonuna tanımı ile bu eşitsizlik sadece gerçekleştirilebilir. Bu nedenle, bu sorun doğrusal denklem sistemlerinin çözüm bulma indirgenir

kx - y = 4,
x + ky = -4.

o temel belirleyicisi olduğu takdirde bu sisteme çözüm
Det = k ^ {2} + 1 sıfırdan farklıdır. Durum parametresi k tüm gerçek değerleri için memnun olduğu açıktır.

Cevap: Parametre k tüm gerçek değerleri için.

Bu tip amaçları da alanında birçok pratik sorunları azaltılabilir matematik, fizik veya kimya.