Sarkaç: dönemi ve formül ivme

düzgün bir çekim alanında (kütle malzemenin ağırlığı ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir) bir ağırlıksız olarak uzayabilir olmayan, filaman üzerinde asılı bir malzeme noktası (gövde) oluşur mekanik sistem (- osilatör başka bir isim) matematiksel sarkaç olarak adlandırılan. cihazların diğer türleri vardır. Bunun yerine bir filamanın ağırlıksız çubuğun kullanılabilir. Sarkaç açıkça birçok ilginç olayların özünü ortaya çıkarabilir. Ne zaman onun hareketinin küçük genlikli titreşimleri harmonik olarak adlandırılır.

mekanik sistemi hakkında genel bilgiler

sarkacın salınım süresinin, formül (1629-1695 gg). Hollanda bilim Huygens cins oldu. Isaac Newton'un Bu çağdaş mekanik sistemin çok düşkündü. 1656 yılında bir sarkaç mekanizması ile ilk nöbeti yarattı. Onlar o zamanlar için çok hassas bir şekilde zaman ölçülür. Bu buluş, fiziksel deneyler ve pratik faaliyetlerinin geliştirilmesinde önemli bir adım oldu.

sarkaç bir denge konumuna (dikey asılı) ise, yerçekimi kuvveti iplik gerilim kuvveti ile dengelenecektir. olmayan bir gerilebilir iplikler üzerinde düz sarkaç iletişimin iki serbestlik derecesine sahip bir sistemdir. tüm parçalarının özelliklerini değiştirmenin sadece bir bileşeni değiştirirken. bir iplik, bir çubuk ile değiştirildiği, örneğin, o zaman bu mekanik sistem tek serbestlik 1 derece. Öyleyse, bir matematiksel sarkacın özellikleri? bu basit sistemde, periyodik pertürbasyonun etkisi altında, kaos görünür. süspansiyon noktası hareketli ve bir sarkaç salınım olmaması halinde, yeni bir denge konumu yoktur. yukarı ve bu mekanik sistemde aşağı hızlı dalgalanmalar "baş aşağı." kararlı konumunu haline gelirse Ayrıca onun adı var. Bu Kapitza sarkaç denir.

sarkacın özellikleri

Sarkaç çok ilginç özellikleri vardır. Hepsi tanınmış fiziksel yasalar tarafından desteklenmektedir. başka bir sarkacın salınım süresi, örneğin gövde büyüklüğü ve şekli gibi çeşitli koşullara bağlıdır, bu noktaya göre süspansiyon alanına ve ağırlık merkezi, ağırlık dağılımı arasındaki mesafe. Vücut asılı döneminin tanımı oldukça zordur nedeni budur. aşağıda verilmiştir formül olan basit bir sarkacın, dönemini hesaplamak için çok daha kolaydır. bu kalıpları gözlemleyerek sonucunda benzer mekanik sistemlerde ayarlanabilir:

• yüklerin çeşitli asılı sarkacın aynı uzunluğa, korurken ağırlığı büyük ölçüde değişecektir, ancak salınım süresi, aynı olsun, ise. Sonuç olarak, sarkacın periyodu yükün ağırlığına bağlı değildir.

Sistem sarkaç azalmaya başlarsa • çok büyük değil, ama farklı açılar, aynı dönemiyle dalgalanma, ancak farklı Amplitüdlerdeki olacaktır. denge merkezine sapmalar olmasa da onların formunda çok büyük dalgalanmalar harmonik yeterince yakın olacaktır. Böyle bir sarkacın periyodu titreşim genliği bağlı değildir. mekanik sisteminin bu özelliği (- Zaman "Izosov" - eşit Yunan "chronos" olarak) duraklardan meydana gelen izokronizm denir.

Basit sarkacın periyodu

Bu şekil, salınımın doğal dilimini temsil eder. Karmaşık bir formülasyon olmasına rağmen, işlem çok basittir. İplik matematiksel sarkaç L ve yerçekimi ivmesi g uzunluğu, bu değer eşit ise:

T = 2π√L / gr

hiçbir şekilde doğal salınım Küçük dönem sarkacın kütle ve salınım genliği bağlı değildir. Bu durumda, bir matematiksel sarkaç kısa ölçülü hareket ederken.

matematiksel sarkacın Salınımlılığı

Matematiksel sarkaç basit bir diferansiyel denklem ile tanımlanabilir ki, salınım:

x + ω2 sin x = 0,

burada x (±) - fonksiyonu bilinmeyen (t zamanında denge alt konumdan sapmanın bu açı, radyan olarak ifade edilmiştir); ω - sarkaç (ω = √g / L parametreleri belirlenir pozitif bir sabittir, burada g - yer çekimi ivmesi ve L - basit bir sarkaç (süspansiyon) uzunluğu.

denge konumunda (ve denklem) aşağıdaki gibi yakın küçük salınımlar Denklem:

x + ω2 sin x = 0

Sarkacın salınım hareketi

sinüzoidin hareketli, küçük salınımlar yapar Sarkaç. İkinci dereceden diferansiyel denklem tüm gereksinimleri ve böyle bir hareketin parametrelerini karşılamaktadır. Eğer hız ve daha sonra bağımsız sabitleri belirlendi koordinatları, ayarlamanız gerekir yolunu belirlemek için:

X = bir sin (θ + ωt _0),

burada θ ₀ - ilk faz A - titreşim genliği, ω - hareket denklemlerinden belirlenen siklik sıklığı.

Sarkaç (büyük genlikli formülü)

Bu mekanik sistem, büyük genlikli ile salınımları gerçekleştirmek, bu daha karmaşık trafik yasalarına tabidir. böyle bir sarkaç için formüle göre hesaplanır:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

nerede sn - u 1 periyodik bir fonksiyondur ve küçük u için basit trigonometrik sinüs denk

U = (ε + ω2) / 2ω2,

burada ε = E / ML2 (ML2 - sarkacın enerji).

aşağıdaki formül ile sarkacın doğrusal olmayan salınım süresinin belirlenmesi:

T = 2π / Ω,

burada Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - eliptik integral π - 3,14.

separatrix sarkaç hareketi

Bu dinamik bir sistem, içinde bir, iki boyutlu bir faz alanı ayıraç yörünge olarak adlandırılan. Sarkaç olmayan bir periyodik olarak hareket eder. zamanın sonsuz kadar noktada o sıfır hıza doğru aşırı üst pozisyondan düşer ve daha sonra yavaş yavaş kazanıyor. Sonunda orijinal konumuna geri dönen, durdu.

sarkacın salınım amplitüdü sayısı pi yaklaşırsa, faz düzleminde hareket separatrix yakın olduğu söylenir. Bu durumda, mekanik sistemin küçük periyodik tahrik kuvvetinin etkisi altında kaotik bir davranış sergiler.

bir açı cp ile denge konumuna basit bir sarkaç halinde teğet kuvvet Fτ = -mg sin φ yerçekimi oluşur. "Eksi" işareti Teğetsel sarkacın sapma yönüne ters yönde yönlendirilmiş olduğu anlamına gelir. yarıçapı L sahip olan dairesel bir yay boyunca x sarkaç değiştirmesi yoluyla söz konusu olduğunda açısal yer değiştirme cp = X / L eşittir İkinci yasa Isaaka Nyutona, ivme vektörü ve gücü istenen miktarı verecek projeksiyonu için tasarlanmıştır:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Bu oranda dayanarak, sarkaç doğrusal olmayan bir sistem, her zaman, kendi denge konumuna geri dönme eğiliminde olan bir kuvvet olarak, yer değiştirme x, bir sin x / L ile orantılı değildir olduğu açıktır

matematiksel sarkaç küçük titreşimleri gerçekleştirir Sadece zaman, bir harmonik osilatör. Diğer bir deyişle, bu harmonik osilasyonlar gerçekleştirebilen bir mekanik sistem haline gelir. Neredeyse 15-20 ° açıları için bu yaklaşım geçerlidir. Büyük genlikli Sarkaç uyumlu değildir.

Bir sarkacın küçük salınımları için Newton kanunu

mekanik sistem küçük salınımlar performans gösterirse, 2 Newton kanunu aşağıdaki gibi görünecektir:

mg τ = Fτ = -m * g / L *, x.

Buna dayanarak, basit bir sarkacın teğet ivme işareti "eksi" ile yer değiştirme ile orantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Bu sistem, bir harmonik osilatörü hale geldiği bir durumdur. yer değiştirme ve ivme arasındaki modül katsayıdır açısal frekansta karesini eşittir:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L

Bu formül sarkacın bu tür küçük salınımlar doğal frekansını göstermektedir. Buna dayanarak,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L

Hesaplamalar enerjinin korunumu yasasına dayalı

sarkaç hareketleri salınım özellikleri enerjinin korunumu yasası yardımı ile tarif edilebilir. Bu akılda tutulmalıdır potansiyel enerji bir çekim alanında sarkaç geçerli:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Tam mekanik enerji kinetik ve maksimum potansiyele eşittir: Epmax = Ekmsx = E

Eğer denklemin sağ ve sol tarafın türevini alarak enerjinin korunumu yasası, yazdım sonra:

EP + Ek = sabit

sabitleri türevi 0'a eşit olduğu için, daha sonra (Ep + Ek) '= 0 toplamının türevi türevlerinin toplamına eşittir:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / l * h + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (V2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

dolayısıyla:

Mg / L * xv + mva = h (mg / L * x + m α) = 0.

Son formüle göre, sürekli olarak: α = - g / L * x.

Matematiksel sarkacın Pratik uygulama

İvme serbest düşüş nedeniyle gezegen çevresinde kabuk yoğunluğu özdeş olmayan, enlem göre değişir. kayalar yüksek yoğunluklu meydana yerlerde, biraz daha yüksek olacak. Matematiksel sarkacın İvme sık keşif için kullanılır. Farklı mineraller için ilgili yardım görünüm içinde. Sadece bir sarkacın salınım sayısını sayarak, Dünya'dan bağırsakları kömür veya maden tespit etmek mümkündür. Bu durum, bu kaynakların gevşek kayaların altında yatan daha yoğunluğu ve ağırlığı olmasından kaynaklanmaktadır.

Sokrates, Aristo, Eflatun, Plutarkhos'a, Arşimed gibi tanınmış bilim adamları tarafından kullanılan matematiksel sarkaç. Birçoğu mekanik sistem kaderini ve yaşamını etkileyebileceğini inanıyordu. Arşimet yaptığı hesaplamalar matematiksel sarkaç kullandı. Günümüzde birçok occultists ve medyumlar onun kehanetleri uygulanması veya kayıp kişiler arama için bu mekanik sistemi kullanın.

Ünlü Fransız astronom ve bilim adamı, onların araştırma için Flammarion da matematiksel bir sarkaç kullandı. Onun yardımıyla o yeni gezegenin keşfini, Tunguska göktaşı ortaya çıkışını ve diğer önemli olayları tahmin etmek mümkün olduğunu iddia etti. Almanya'da İkinci Dünya Savaşı (Berlin) sırasında sarkacın özel bir enstitü olarak çalıştı. Günümüzde bu tür araştırmalar Parapsikoloji mevcut Münih Enstitüsü değildir. sarkaç ile yaptığı iş "radiesteziey" olarak adlandırılan bu kurumun personel.