Fourier dönüşümü. Hızlı Fourier dönüşümü. Ayrık Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü - dönüşüm, gerçek bir değişken belirli bir fonksiyon ilişkilendirme. Bu işlem farklı sesler algıladıkları her zaman yapılır. Kulak sadece yüksek matematik bölümünün incelemeden sonra bilincimizi can yerine getirmek otomatik "hesaplama", üretir. bir insan dönüşüm organ işitme ses (katı, sıvı veya gaz bir ortam içinde dalga şeklinde yaymak elastik orta parçacıklar, geleneksel titreşim hareketi) yükseklikleri değişen seslerinin seviyesinin ard arda bir değer aralığı içinde temin edildiği, oluşturur. Bundan sonra, beyin tüm tanıdık sesi haline bilgiyi döner.

Matematiksel Fourier dönüşümü

(Işık emisyon ve okyanus dalgasının ve yıldız veya güneş döngüsüne) yapılabilir ve matematiksel yöntemlerle, ses dalgaları veya diğer vibrasyon işlemleri dönüştürülmesi. Bu durumda, bu teknikler kullanılarak, fonksiyonlar deniz dalga gibi, en az bir daha sonra maksimum minimum gidip sinüzoidal bileşenlere, yani dalgalı eğrilerinin ayarlanmış titreşim işlemleri sokulmasıyla genişletilebilir. Fourier dönüşümü - belirli bir frekansa tekabül eden her bir sinusoid faz veya genliğinin tarif dönüşümü. Faz eğrisi ve genliğinin bir başlangıç noktasıdır - yüksekliğinin.

Fourier (örnekler fotoğrafta gösterilmiştir) Çeşitli bilim dallarında kullanılan çok güçlü bir araçtır dönüşümü. Bazı durumlarda, bir çözelti olarak ışık, ısı veya elektrik enerjine etkisi altında meydana gelen dinamik işlemleri tarif oldukça karmaşık denklemleri kullanılır. Diğer durumlarda, bu kimya, tıp ve astronomi çeşitli deneysel gözlemlerini yorumlamak doğru olabilir bu nedeniyle size karmaşık dalga düzenli bileşenlerini tanımlamak için izin verir.

tarihsel bilgiler

Bu yöntemi uygulamak için ilk insan Fransız matematikçi Zhan Batist Fure oldu. sonradan onun adını Dönüşüm, ilk olarak ısı iletim mekanizmasını tanımlamak için kullanılmıştır. ısı özelliklerini inceleyerek yapan onun tüm yetişkin yaşamını Fourier. O cebirsel denklemlerin köklerinin belirlenmesi matematiksel teoriye büyük katkıları olmuştur. Fourier Ecole Polytechnique, Mısırbilim Enstitü Sekreterliği'ne de analiz profesörü oldu (onun önderliğinde sıtma bataklık fazla 80 bin kilometrekarelik boşaltıldı) Torino giden yolun yapımında sırasında heyecan yarattı emperyal hizmet oldu. Ancak, tüm bu aktivizm matematiksel analiz yapan bilim adamı durmadı. 1802 yılında katı ısı yayılımını açıklar bir denklem elde edilmiştir. 1807 yılında bilim adamı "Fourier dönüşümü" olarak tanındı Bu denklemi, çözümü için bir yöntem keşfetti.

ısı iletkenliği analizi

Araştırmacılar ısı iletim mekanizmasını açıklamak için bir matematiksel yöntem kullanılır. hesaplama hiçbir zorluk termal enerji yayılımı bir demir halka ile ki burada uygun bir örnek, bir kısım ateşe daldırılmıştır. yürütmek için deneyler halkanın kırmızı sıcak kısmını Fourier ve ince kuma gömelim. Bundan sonra, sıcaklık ölçümleri bunun karşıt parçası üzerinde gerçekleştirilmiştir. Başlangıçta, bir ısı dağılımı düzensiz: halkanın bir parçası - soğuk ve diğer - sıcak bölgeler arasında gözlemleyebiliriz keskin bir sıcaklık gradyanı. Bununla birlikte, metal yüzey üzerinde ısı verme işlemi sırasında, daha homojen hale gelir. Yani, yakında, bu süreç bir sinüs dalgası biçimini alır. Birinci grafik yavaşça artış gösterir ve ayrıca, düzgün bir kosinüs ve sinüs fonksiyonu varyasyon doğru yasaları azaltır. Dalga kademeli dengeyi ve bunun sonucunda ısı halkasının tüm yüzeyi üzerine muntazam hale gelmektedir.

Bu yöntemin yazar başlangıçtaki dağılımı, temel sinüsel dalganın bir dizi halinde ayrıştırılabilir oldukça düzensiz olduğu varsayılır. Bunların her birinin fazı (ilk konum) ve maksimum sıcaklığı olacaktır. Bu nedenle, minimum her bir bileşen değişiklikleri en fazla geri halka tamsayıdır kez etrafında devrini tamamlamak için. temel harmonik olarak adlandırılan bir dönem ve iki ya da daha fazla süre ile değere sahip Bileşen - İkinci ve. Örneğin, maksimum sıcaklık tanımlayan bir matematiksel fonksiyon, faz ya da pozisyon Fourier dağılım fonksiyonunun dönüşümü adı. ilk dağılımı veren bir miktarda, sinüs ve kosinüs sıraları - Bilim kolay kullanımlı araçlar için matematiksel açıklama zor tek bir bileşen getirdi.

analizin özü

dairesel bir şekle sahip olan, katı nesne üzerine bir ısı dağılımı dönüştürülmesi için bu analiz uygulanması, bir matematik sinusoidal bileşenlerin artan süreleri onun hızlı sönümleme neden olduğunu düşünmüştür. Bu açıkça ana ve ikinci harmonikler görülür. Nihai sıcaklık, tek bir geçişte iki kez maksimum ve minimum değerlere ulaştığında ve ilk olarak - sadece bir kez. Bu ikinci harmonik ısı tarafından kat edilen mesafe iç yarısı olduğu ortaya çıktı. Buna ek olarak, ikinci yarısında gradyanı birinci daha dik olacaktır. daha yoğun bir termik akım dul az mesafe geçtiği için, bu nedenle, bu zamanın bir fonksiyonu olarak, ana dört kat daha hızlı bir harmonik sönümlü edilecektir. Daha sonraki süreçte daha da hızlı olacaktır. Matematikçi Bu yöntem zamanla sıcaklık ilk dağıtım sürecini hesaplamak olanak sağladığına inanılmaktadır.

Çağrı çağdaşları

Fourier algoritması dönüşümü anda matematik teorik temellerine sorun haline gelmiş. On dokuzuncu yüzyılın başlarında, Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre ve Biot dahil olmak üzere en önde gelen bilim adamları, ilk dağıtım sıcaklığı temel dalga ve daha yüksek frekansta şeklinde bileşenlerine ayrıştırılır dair ifadesini kabul etmedi. Ancak Bilimler Akademisi matematikçi elde edilen sonuçları görmezden ve yasaların ısı iletimi teorisi için ona Ödülü verildi, hem de fiziksel deneyler ile tespitine olamazdı. Fourier yaklaşımda, ana itiraz kesintili işlev sürekli olan çeşitli sinüzoidal fonksiyonları, bir toplamı ile temsil edilir gerçektir. Sonuçta, düz patlama ve eğri çizgiler tarif eder. Çağdaş bilim adamı böyle bir durum hiç karşılaşmadığı bu tür, kuadratik doğrusal, sinüs veya katılımcı olarak, sürekli bir kombinasyonu tarafından tarif süreksiz fonksiyonlar. Bir matematikçi İddialarını haklıydı halinde, trigonometrik fonksiyonlar sonsuz bir serinin toplamı tam hız ile sınırlı olmalıdır. Böyle bir iddia saçma görünüyordu iken. Bununla birlikte, bazı araştırmacılar (örneğin Claude Navier, Sofi Zhermen) ait şüphelere rağmen araştırmanın kapsamını genişletmiştir ve ısı dağılımının analizi dışına getirdi. Bir matematik arada birkaç sinüs fonksiyonları bir miktar patlamasından tam bir temsiline düşürülür sorusuna acı devam etti.

200 yıllık geçmişi

Bu teori iki yüzyıl içinde gelişti, bugün nihayet oluşturulur. mekansal ve zamansal fonksiyonları yardımıyla frekans, faz ve genlik sahip sinüsoidal bileşenlerin bölünür. Bu dönüşüm iki farklı matematik yöntemleriyle elde edilmektedir. Kaynak sürekli bir fonksiyon ve ikinci zaman bunların ilk durumda kullanılır - ayrık tek değişiklik, çok sayıda ile temsil edilmesi durumunda. temel üzerinde benzeri düşük gelen ve daha sonra iki, üç kat, ve - sentezleme kesikli aralıklarda tanımlanan değerlerden elde edilirse, bu bir kaç ayrık sinüs frekansı ifadeler ayrılabilir. Bu tutara Fourier serileri. Başlangıç ifadesi, her reel sayı değerini belirler, bu birden fazla sinüzoidal olası tüm frekansları içine kırılmış olabilir. Bu entegre olan bir Fourier olarak adlandırılır, ve karar yekpare fonksiyonunun bir dönüşüm anlamına gelir. Ne olursa olsun, iki numara göstermelidir her bir frekans için, dönüşüm elde etmek için yöntem: genliği ve frekansı. Bu değerler tek bir şekilde ifade edilmiştir karmaşık sayı. hesaplamaları gerçekleştirmek için birlikte, Fourier transformasyonu ile ekspresyonu kompleks değişkenler teori, çeşitli elektrik devreleri tasarım izin, mekanik titreşimler analizi, dalga yayılımı mekanizması ve bir çalışma.

Fourier bugün dönüşümü

Günümüzde bu sürecin çalışma temelde akla geri dönüştürmek için işlevinden geçiş için etkili yöntemler bulmak olarak özetlenebilir. Bu çözüm, doğrudan ve ters Fourier dönüşümü denir. Ne anlama geliyor? amacıyla ayrılmaz belirlemek ve doğrudan Fourier dönüşümü yapmak, sen matematiksel yöntemleri kullanabilirsiniz, ancak analitik edebilirsiniz. pratikte kullanıldığında bazı zorluklar olmasına rağmen, çoğu integraller zaten bulunmuştur ve matematiksel elkitaplarmda girdi. Sayısal yöntemlerin yardımıyla hesaplanabilir ifadeler ile, biçimi deneysel veriler, tablolardaki integral eksik olan bir fonksiyon esas alınarak, ve bunlar bir analitik biçimde tahmin etmek zordur edilir.

Böyle dönüşümler çok sıkıcı olmuştur bilgisayar mühendisliği hesaplamaları gelişiyle önce, dalga fonksiyonunu açıklayan noktalarının sayısına bağlı aritmetik işlemlerin çok sayıda manuel yürütülmesini gerektirir. Yeni uygulamaya izin özel programlar vardır, bugün yerleşim kolaylaştırmak için analitik yöntemlerin. Yani, 1965 yılında, Dzheyms Kuli ve Dzhon Tyuki "Hızlı Fourier Dönüşümü" olarak tanındı yazılımı hazırlandı. Bu eğri analizinde çarpma sayısını azaltarak hesaplama zaman kazandırır. yöntemi, homojen bir örnek değerler çok sayıda içine eğrisi bölünmesi dayanan "Hızlı Fourier Dönüşümü". Bu duruma göre, çarpma sayısı noktalarının sayısını azaltma aynı yarıya azaltılmıştır.

Fourier dönüşümü uygulanıyor

Bu süreç çeşitli alanlarda kullanılır: In sayılar teorisi, fizik, sinyal işleme, kombinatorik, olasılık teorisi, kriptografi, istatistik, oşinografi, optik, akustik ve diğer geometriler. kullanımı için zengin olanaklar denir kullanışlı özellikler, bir dizi dayanmaktadır "Fourier dönüşümünün özellikleri." Onlara inceleyelim.

1. dönüştürme fonksiyonu doğrusal operatörü ve ilgili bir normalizasyon üniter. Bu özellik, Parseval teoremi olarak bilinen ya da genel durumda, teoremi Plansherelja veya Pontrjagin ikiliği edilir.

2. Dönüşüm tersine çevrilebilir. Ayrıca, ters sonuç adreslemeye gibi büyük ölçüde benzer bir şekle sahiptir.

3. sinüsoidal temel ifadeler kendi farklılaşmış fonksiyonlardır. Bu, gösterim değişikliği anlamına gelir lineer denklem bilinen bir cebirsel olarak sabit katsayılar ile.

4. "evrişim" teoremine göre, işlem basit çoğalması karmaşık bir duruma getirmektedir.

Ayrık Fourier Dönüşümü 5. hızlı "hızlı" yöntemi kullanılarak bir bilgisayar üzerinde tasarlanabilir.

Fourier varyasyonları dönüşümü

1. En sık terimi özel açısal frekans ve amplitüdleri ile kompleks üstel ifade toplamı olarak herhangi bir karesel integre ifade sağlayan, sürekli bir dönüşüme ifade etmek için kullanılır. Bu tür farklı sabit katsayılar olabilir çeşitli formları yer alır. Kesintisiz yöntem ise, matematiksel el kitaplarında bulunabilir bir dönüşüm tablosu içerir. Bir genelleştirilmiş durumda bu işlem, istenen gerçek güç edilmesi olup, burada kısmi dönüşüm vardır.

2. kesintisiz bir yöntem olup, herhangi için tanımlanan Fourier serisi önceki tekniğin bir genellemedir periyodik fonksiyonlar sınırlı bir alanda bulunmaktadır ve sinüzoidler bir dizi olarak temsil etmez ve ifadeler,.

3. Ayrık Fourier dönüşümü. Bu yöntem, bilimsel hesaplama ve dijital sinyal işleme için işlem kullanılır. Bu hesaplama tür gerçekleştirmek için tek tek noktalarına, periyodik veya sınırlı bir bölgesinin, yerine sürekli Fourier integralleri ayrı bir set üzerinde belirleyici bir fonksiyonu olması gerekmektedir. Bu durumda, sinyal dönüştürme sinüzoidler bir toplamı olarak temsil edilir. "Hızlı" yönteminin kullanımı tüm pratik amaçlar için dijital çözümler kullanımına izin verir.

4. Fourier dönüşümü pencere klasik yöntemin genel bir görünüşüdür. Bu değişkenin varlığının dizi içinde alınmış sinyal spektrumu kullanılan standart çözeltiler, farklı olarak burada özellikle ilgi orijinal değişken (saat) muhafaza ederken, sadece lokal frekans dağılımıdır.

5. iki boyutlu Fourier dönüşümü. Bu yöntem, iki veri-boyutlu diziler ile çalışmak için kullanılır. diğer - Bu gibi bir durumda, dönüşüm, daha sonra bir doğrultuda gerçekleştirilir ve.

Sonuç

Bugün, Fourier yöntemi sıkıca Çeşitli bilim dallarında iyice yerleşmiştir. Örneğin, 1962, X-ışını sapması ile bağlantılı olarak verilen Fourier analizi kullanılarak, DNA-İkili heliksinin büyük şekil açtı. Son kristaller film üzerinde kaydedilen kırınımı ile elde edilen bir görüntü ile sonuçlanan DNA lifleri üzerinde duruldu. Bu resim Fourier bu kristal yapısına dönüşümü kullanılarak genliği değeri hakkında bilgi verdi. benzer kimyasal yapıda analizinde elde edilen kart DNA kırılma kartı karşılaştırılmasıyla elde faz verileri. Sonuç olarak, biyologlar kristal yapıya restore - orijinal işlevi.

Fourier uzaydan, yarı iletken malzeme ve plazma, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar, sismoloji ve tıbbi muayenelerin fizik çalışmaya büyük bir rol oynamaktadır dönüşümü.