Uçağın denklemi: nasıl yapılır? Türleri düzlem denklemleri

düzlem alanı farklı şekillerde (saire nokta ve vektör, vektör ve iki nokta, üç nokta,) 'da tarif edilebilir. Bu akılda ile, düzlem denklemi farklı türleri olabilir olduğunu. Ayrıca bazı koşullarda düzlem olabilir paralel, dikey olarak kesişen, vs. ve bu günü bu makalede konuşacağız. Uçakta ve sadece genel denklemini yapmak öğreneceksiniz.

Denklem normal bir şekilde

R, bir dikdörtgen sistemi XYZ koordinat sahip alan _3, varsayalım. Bu vektör a sonuna doğru başlangıç noktasından O çıkacak bir vektör α, buna dik olan düzlem P çizmek tanımlar.

keyfi bir nokta, Q = (x, y, z) de P belirtmektedir. Q noktasının işareti harf p'nin yarıçap vektörü. vektörünün uzunluğu a p = IαI ve Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) eşittir.

Vektör a gibi yönünde yönlendirilir Bu birim vektör. α, β ve γ - Z, sırasıyla vektör ve pozitif yönde arasında oluşan açılar Ʋ alan eksenleri x, y, bulunmaktadır. Vektör QεP Ʋ üzerindeki bir noktanın çıkıntı p (p Ʋ) (p = r≥0) eşit olan bir sabittir.

Yukarıdaki denklem, p = 0 anlamlıdır. yönü, vektör Ʋ tespit anlamına gelir, ancak bu durumda sadece n düzlemi, P dik olacak O noktasından yayımlanan kökenli olduğu nokta O (α = 0), ve birim vektör Ʋ, çapraz olacak işaretine kadar. Önceki denklem eden düzlem P, vektör formunda ifade edilmiştir. Ama koordinatlar görünümünde:

P ya da daha büyük Biz, normal biçimde düzlem denklemi bulduk 0 eşittir.

genel denklemi

koordinatlarda denklem sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayısına göre çarpma durumunda, çok düzlemini tanımlar bu denklem eşdeğerini elde. Bu aşağıdaki formu sahip olacaktır:

Burada A, B, C, - sıfırdan farklı eş zamanlı sayısıdır. Bu denklem düzlemine genel şekli denklemi olarak adlandırılır.

uçakların denklemleri. Özel durumlar

denklemi, aşağıdaki koşulları karşılayan modifiye edilebilir. bazıları düşünün.

katsayısı bir 0 olduğunu Bu gösterir varsayalım önceden belirlenen eksen Ox düzlem paraleldir. Bu durumda, bu denklemin bir şekilde değiştirir: Wu + Cz + D = 0.

Benzer bir şekilde, denkleminin kullanılması ve Aşağıdaki şartlara göre değişir:

• İlk olarak, B = 0 ise, eksen Oy paralellik işaret eder Ax + Cz + D = 0 için Denklem değişir.
• İkinci olarak, C = 0 ise, denklem Ax + tarafından + D = 0 dönüştürülür, bu, önceden belirlenen eksene paralel Öz yaklaşık söylenebilir.
• Üçüncü olarak, D = 0 ise, denklem düzlemi O (başlangıç noktası) kesişen anlamına gelir Ax + tarafından + Cz = 0 olarak görünür.
• Dördüncü olarak, A = B = 0, Oksi paralellik olacağına Cz + D = 0 için Denklem değişir.
• Beşinci olarak, B = C = 0 ise, denklem düzlemi Oyz paralel olduğu anlamına gelir Ax + D = 0, olur.
• A = C = 0, denklem aşağıdaki gibidir: Wu + D = 0, alırsa Altıncı olarak, diğer bir deyişle, paralellik Oxz rapor edecektir.

segmentlerde denklemin Formu

durumda burada eğer sayılar, A, B, C, sıfırdan D farklı denklemin formu (0) aşağıdaki gibi olabilir:

X / a + y / b + z / C = 1,

burada a = D / A, b = D / B, C = D / C

Biz parçalar halinde uçağın sonucu denklem olarak alırlar. (0, b, 0), Oz - - (0,0, s) düzlem koordinatları (a, 0,0), Oy ile noktasında x eksenini kesişecek unutulmamalıdır.

Denklem x / a + y / b + z / C = 1, bir Önceden saptanmış bir koordinat sistemine yerleştirme düzlemi göre görselleştirmek için zor değildir verilen.

Normal vektör koordinatları

düzlem P normal vektör, n genel düzlemine denklemi, yani n (A, B, C), katsayılarıdır koordinatları vardır.

Normal n koordinatlarını belirlemek amacıyla, düzlem verilen genel denklemi bilmek yeterlidir.

yer alır segmentlerinde denklemi kullanırken bir şekilde x / a + y / b + z / C = 1, aşağıdaki genel denklemi kullanırken herhangi bir normal vektör koordinatlarını yazılabilir gibi belirli bir düzlem (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Yardımcı normal vektör çeşitli sorunları çözmek için olduğunu belirtmek gerekir. En sık karşılaşılan sorunlar, ispat dik veya paralel düzlemler içinde düzlemler veya uçaklar ve düz çizgi arasındaki açı arasındaki açılar bulma görevi oluşan edilir.

nokta normal vektör düzlemi denklemi ve koordinatlarına göre Tip

Belirli bir düzleme dik bir sıfır olmayan vektör, n, önceden belirlenmiş bir düzlemine dik (normal) olarak adlandırılan.

koordinat alanında yer Oxyz (dikdörtgen koordinat sistemi) varsayalım:

• koordinatlarla Mₒ noktası (hₒ, uₒ, zₒ);
• sıfır vektörü, n = i B * j + C * k + A *.

Normal n dik Mₒ noktasından geçen düzlemin denklemini yapmak gerekir.

Uzayda herhangi rasgele noktasını seçmek ve M (x, y, z) ifade etmektedir. olacak her bir nokta M (x, y, z) yarıçapı vektörü olsun R * i y * j + z * k ve nokta Mₒ yarıçapı vektörü (uₒ, hₒ, zₒ) + X = - rₒ = hₒ * I uₒ + * + zₒ * k j. Vektör MₒM vektör n dik olması halinde noktası M, belirli bir düzleme ait olacaktır. Biz skaler ürünü kullanmadan dikeylikten durumunu yazın:

[MₒM n] = 0.

MₒM = r-rₒ yana, uçağın vektör denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

[R '- rₒ n] = 0.

Bu denklem de başka şekle sahip olabilir. Bu amaçla, skaler ürünün özellikleri ve denklemin sol tarafını dönüştürülür. [R '- rₒ n] = [R, N] - [rₒ n]. [Rₒ n] s olarak gösterilen durumunda, aşağıdaki denklem elde edilir: [R, N] - a = 0, ya da uçak ait verilen puan yarıçapı-vektörleri normal vektör üzerindeki çıkıntıların süreklilik ifade [r n] = s.

Şimdi tipi kayıt düzlemi eden vektör denklemi koordinat almak [r - rₒ n] = 0 yana r-rₒ = (X-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (Z-zₒ) * k ve n = i B * j + C * k + A *, var:

Biz denklem normal n dik noktasından geçen düzlem oluşturulur sahip olduğu ortaya çıktı:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

düzlem denklemi ve vektör düzlemi kolinear iki nokta koordinatlarına göre Tip

İki rasgele noktası M '(x', y 'Z') ve M "(x", Y", Z "), hem de vektör, (a', a", bir ‴) tanımlar.

Şimdi denklem önceden belirlenmiş mevcut noktası M 've M" geçer düzlemi ve belirli bir vektöre koordinatlar M (x, y, z) paralel her bir noktayı yazabilir.

Böylece M'M vektörleri, x = {x, y-y '; ZZ'} ve M, "M = {x", -x, y, 'y' z "-z '} vektör ile eş düzlemli olmalıdır a = (a', a "anlamına gelir, bir ‴), yani (M'M M" E, a) = 0.

Yani uzayda bir uçağın bizim denklemi aşağıdaki gibi görünecektir:

düzlem denkleminin Tipi, üç puan geçiş

Aynı hat ait olmayan bu, (x ‴ mı ‴ z ‴), '(x (X ' Y', Z'), y 'Z'): en üç noktasına sahip olduğunu varsayalım. Belirtilen üç noktanın içinden geçen düzlemin denklemi için gereklidir. geometri teorisi sadece bir ve tek olduğunu, uçağın bu tür var olmadığını savunuyor. Bu düzlem noktası kesişen yana (x 'y', Z '), denklemi şekilde olacaktır:

Burada A, B, ve C aynı zamanda sıfırdan farklıdır. Ayrıca belirli bir düzlem (x "Y", Z ") ve (x ‴ y ‴ z ‴) iki puan kesişir. Bu bağlamda koşulları bu tür yapılmalıdır:

Şimdi tek bir sistem oluşturabilir denklem (çizgisel) bilinmeyenler u, v, w ile:

Bizim durumumuzda içerisinde X, Y veya Z denklem (1) karşılayan keyfi noktası anlamına gelir. (1) denklemi ile denklem (2) ve yukarıdaki şekilde gösterilen denklem (3) sistem bir sistem dikkate alındığında, vektör tatmin N (A, B, C) sıradan olmayan olan. Sistemin belirleyici sıfır olduğu belirtilmektedir.

Denklem (1) elimizdeki ki bu düzlemin denklemidir. 3 nokta o gerçekten gider ve onu kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için, biz ilk satırda elemanları tarafından belirleyici genişletin. mevcut özellikleri belirleyici (x 'y', Z '), (X "Y", Z "), (x ‴ y ‴ z ‴) bizim uçak aynı anda üç başlangıçta önceden belirlenmiş noktayı kesişen izler. Bu yüzden önümüzde görevini vermiştir.

düzlemler arasındaki dihedral açının

Dihedral açı düz bir çizgi yayılan iki yarım düzlemler tarafından oluşturulan uzamsal geometrik bir şekildir. Diğer bir deyişle, yarı düzlemden sınırlıdır alan bir parçası.

aşağıdaki denklem ile iki uçağı olduğunu varsayalım:

Olduğunu biliyoruz vektör, N = (A, B, C) ve önceden tespit edilmiş bir düzlemlere göre N¹ = (¹, H¹, S¹) diktir. Bu bağlamda, bu düzlemler arasında yer alan vektörleri N ve N¹ eşit açı (dihedral) arasında φ açısı. skaler ürün ile verilir:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

kesin çünkü

cosj = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

O 0≤φ≤π dikkate almak yeterlidir.

kesişen Aslında iki düzlem oluşturan her iki köşeli (dihedral) φ ₁ ve φ _2. Bunların toplamı (φ ₁ + φ ₂ = tt) tt eşittir. bunların cosines gelince, yani, cos φ ₁ = -cos φ ₂ mutlak değerleri eşit, ancak farklı işaretleri _vardır. denklemde (0) sırasıyla A, B ve -A, -B C ve -C, denklem ile ikame edilirse, elde edilir, denklem cos cp içinde φ, sadece açı aynı düzlemde belirleyecek = NN ¹ / | N || N ¹ | Bu π-cp ile değiştirilecektir.

dikey düzlem denklemi

düzleme dik olarak adlandırılan, aralarında açı 90 derecedir. Yukarıda sunulan malzemeyi kullanarak, diğer dik bir düzlemin denklemini bulabilirsiniz. iki düzlemlere sahip varsayalım: Ax + tarafından + Cz + D = 0 ve + A¹h V¹u S¹z + D = 0. Biz onlar diktir olduğunu söyleyebiliriz çünkü = 0 eğer. Bu, NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 anlamına gelir.

bir paralel düzlem denklemi

Bu ortak bir sayı içeren iki paralel düzlem anılacaktır.

durumu paralel düzlemler arasında (kendi denklemleri önceki paragrafta olduğu gibi aynıdır) olduğu kendilerine dik olan vektörler, N ve N¹, doğrudaş. Bu, aşağıdaki koşullar orantılı olup karşılandığı anlamına gelir:

A / ¹ = B / C = H¹ / S¹.

orantılı terimleri genişletilir - A / ¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Aynı veri düzlemi belirtir. Bu + D¹ = 0, bir düzlemi tarif eder + Cz + D = 0 ile + A¹h V¹u S¹z tarafından bu denklem Ax + anlamına gelir.

düzleme noktadan itibaren mesafe,

Biz (0) tarafından verilen bir düzlem P, varsayalım. Koordinatlar ile nokta arasındaki mesafeyi bulmak için gereklidir (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Bunu yapmak için uçak II, normal görünüş olarak denklemi getirmek gerekir:

(Ρ, h) p (r≥0) =.

Bu durumda, ρ (x, y, z) n-p bulunan eden Q noktasına, yarıçapı vektörüdür - n, sıfır noktasından yayımlanan olan, dikey uzunluğu, v - bir yönde düzenlenmiş birim vektördür.

bir noktaya Q = (x, y, z) farkı ρ-ρº yarıçap vektörü, n ait ve Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) olduğu bu gibi bir vektör, çıkıntının mutlak değeri olan her hangi bir noktada yarıçapı vektör v Q bulmak için gerekli olan mesafe d, eşit = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = (| ρ-ρ ^0, v) |, ancak

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, h ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Bu yüzden, çıkıyor

D = (| ρ ^0, v) p-|.

Şimdi S düzlemi P ₀ ilâ d uzaklığı hesaplamak için olduğu açıktır, bu normal görünüm düzlem denklemi kullanmak gereklidir, s sola kayma, ve x, y son yer, Z yerine (hₒ, uₒ, zₒ).

Böylece, d gereklidir Elde edilen ifade mutlak değerini bulmak.

Dilin parametrelerini kullanarak, bariz olmak:

d = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).

Belirtilen noktalı _Q0 vektör arasında daha sonra, başlangıç noktası olarak düzlem P diğer tarafında ise ρ-ρ ⁰ ve v , bir geniş açı ve böylece:

D = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) p> 0.

U aynı yanı üzerinde bulunan kaynaklı birlikte Q noktasının _0, akut açı oluşturulur durumda, yani:

p = D = (v ρ-ρ ⁰⁾ - (ρ ^0, v)> 0.

sonucu olduğu önceki durumda ikinci (ρ ^0, v) p>, (ρ ^0, v) 'p.

Ve onun teğet düzlem denklemi

teğet Mº noktasında yüzeye düzlemi ile ilgili olarak - yüzeyi üzerindeki noktadan çizilen eğri için mümkün olan tüm teğet ihtiva eden bir uçak.

teğet düzlemi teğet noktası Mº denklemindeki denklemi, F (x, y, z) = 0 (uº, hº, zº) olacaktır, bu yüzey ile:

_Fx (hº, uº, zº) (hº x) + _Fx (hº, uº, zº) (uº y) + _Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Yüzey açıkça z = f (x, y) olarak ayarlanır, daha sonra teğet düzlemi denklem ile tarif edilir:

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

iki düzlemin kesişimi

Olarak üç boyutlu uzayda örtüşen ve uyuşmuyorsa 've P', iki düzlem P verilen bir koordinat sistemi (dikdörtgen) Oxyz vardır. Genel denklemle tanımlanan bir dikdörtgen koordinat sistemi içinde herhangi bir düzleme, bu yana, N + B x '+ y ' ", A = 0 ve n denklem A'x + V'u S'z + D ile tanımlanır'" varsayalım ve "z + D" = 0. Bu durumda, düzlem P 've normal n "(A", B "C") düzlem P' normal n '(A', B 'C') sahiptir. Uçağımız paralel değildir ve uyuşmuyorsa gibi, daha sonra bu vektörler collinear değildir. n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Ve", λ * In "λ * C"), λεR: matematik dilini kullanarak, bu durum olarak yazılabilir var. kesişme P yatan düz bir çizgi " '∩ bir P ve P, bu durumda a = P, A harfi ile belirtilir'" olsun.

ve - bir çizgi nokta (yaygın) düzlemleri P ', P", bir çok oluşmaktadır. Bu hat a ait herhangi bir noktasının koordinatları eş zamanlı denklem A'x + V'u S'z +, D '= 0 ve A ", x + B' + C y" z + D "= 0 karşılamak zorunda olduğu anlamına gelir. Bu noktanın koordinatları, aşağıdaki denklem, belirli bir çözeltisi olacağı anlamına gelir:

Sonuç denklem bu sistemin çözeltisi (toplam) kesişme P ', P" noktası olarak hareket edecek hattı üzerindeki noktaların her koordinatlarını belirlemek ve bir koordinat sistemi Oxyz (dikdörtgen şeklinde) bir boşluk içinde bir hat tespit edecektir.