Üçgenin açılarının toplamı. Bir üçgenin açılarının toplamına teoremi

üçgenin üç tarafı (üç açıları) sahip olan bir çokgendir. Çoğu zaman, bölüm zıt köşeleri temsil harf, ilgili küçük harfleri ile gösterilmiştir. Bu yazıda bir üçgenin açılarının toplamına eşittir tanımlayan geometrik şekiller, teoremi, bu tür bir göz atın.

Türleri büyük açılar

Üç üçgeni olan poligonun aşağıdaki türleri:

• ki burada tüm açılar keskin, sivri açılı;
• Dikdörtgen bir doğru açısına sahip olan, bu oluşturan yan, bacak ifade ve sağ açısına karşıt yerleştirilmiş yan hipotenüs denir;
• geniş zaman bir açı geniş olduğu ;
• olan, üçüncü iki taraf eşittir ve bunlar, yanal olarak adlandırılır ve ikizkenar, - bir baz ile birlikte bir üçgen;
• eşkenar üç eşit kenarlara sahip.

özellikleri

üçgenin her bir tipi için karakteristik olan temel özellikleri tahsis:

• büyük taraf her zaman büyük bir açı, ve tersi karşısındaki;
• Eşit eşit büyük parti zıt açıları ve bunun tersi de;
• herhangi bir üçgen iki dar açıları vardır;
• herhangi bir iç açı bitişik olmayan buna göre daha büyük bir dış açı;
• herhangi iki açısının toplamı her zaman en az 180 derece;
• Dış açı onunla mezhuyut olmayan diğer iki köşe, toplamına eşittir.

Bir üçgenin açılarının toplamına teoremi

teoremi Eğer Öklid düzleminde bulunan bir geometrik şekil, her köşesinde toplayın, daha sonra bunların toplamı 180 derece olacaktır belirtmektedir. en bu teoremi ispat çalışalım.

Biz köşe kmn ile keyfi bir üçgen olsun. M üst tutacaktır karşısında hattı doğrudan paralel KN (hatta bu hat Öklid olarak adlandırılır). noktaları K ve A hattı MN farklı taraflarından düzenlenir, böylece A noktası not edilmelidir. Bu iç gibi, paralel olan doğrudan CN ve MA ile bağlantılı olarak MN kesişen oluşturmak üzere çapraz yalan, AMS ve MUF, aynı açı olsun. Buradan, M ve N köşelerinde bulunan üçgen, açılarının toplamı CMA açısının büyüklüğüne eşit olduğunu izler. Tüm üç açı KMA ve MCS açılarının toplamına eşit bir toplamından oluşur. Veri kesişen iç açılar nispi taraflı paralel çizgiler CL ve CM MA olduğu, bunların toplamı 180 derecedir. Bu teoremi ispatlar.

sonuç

Yukarıdaki teoremin Yukarıdakiler arasında aşağıdaki doğal sonucu ima: Her üçgen iki akut açıları vardır. Bunu kanıtlamak için bize bu geometrik şekil sadece bir dar açı sahip olduğunu varsayalım. Ayrıca köşelerde hiçbirinin keskin değildir varsayabiliriz. Bu durumda eşit veya 90 ° 'den daha büyük olan büyüklüğü olan en az iki açı olmalıdır. Sonra açıların toplamı 180 dereceden daha büyüktür. Artık, en az - bir üçgenin teoremi toplamı açılara göre 180 ° 'ye eşit olduğu gibi bu, olamaz. Yani ispat edilmesi gerekiyordu zaten.

Mülkiyet dışında köşeler

Harici olan bir üçgenin açılarının, toplamı nedir? Bu sorunun cevabı iki yoldan birini uygulayarak elde edilebilir. İlk sen her köşenin de birini aldı yani üç açıları vardır açıları, toplamını bulmak gerekir olmasıdır. İkinci Eğer köşe altı açıları toplamını bulmak gerekir anlamına gelir. İlk somut başlangıcı ile başa çıkabilmek için. ikisinin her üstünde - Böylece, üçgen altı dış köşeleri içerir. Onlar dikey, çünkü her bir çifti, kendi aralarında eşit açılar vardır:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Buna ek olarak, bir üçgenin dış köşesi onunla mezhuyutsya olmayan iki iç, toplamına eşittir olduğu bilinmektedir. dolayısıyla,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Buradan hareketle her köşe yakınında tek tek alınır dış açıları, toplamı eşit olacaktır anlaşılmaktadır:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟S ∟A ∟V + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

açıların toplamı 180 derece eşit olduğu gerçeği göz önüne alındığında, bu ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° tartışılabilir. Bu, ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 = 360 ° 'yi belirtir. İkinci seçenek kullanılırsa, altı açıları toplamı iki kez buna büyük olacaktır. Bir üçgenin açılarının toplamı Yani dışarıda olacak:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 ° 'dir.

dik üçgen

bir dik üçgenin açılarının toplamına eşittir nedir, ada? Cevap Bir üçgenin açıları 180 derece kadar ekleyin belirten Teorem, gelen, yine vardır. Bir ses bizim sav şöyle (mülkiyet): keskin açılar 90 derece kadar ekleyin Bir dik üçgende. Biz onun doğruluğunu kanıtlamak. verilen üçgen KMN, ∟N = 90 ° orada olsun. O ∟K ∟M = + 90 ° kanıtlamak için gereklidir.

Bu nedenle, açılar ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° toplamına teoremine göre yöntem. Bu durumda, ∟N = 90 ° olduğu söylenir. Bu ∟K ∟M + 90 ° = 180 ° döner. 90 = 90 ° - O ∟K ∟M + = 180 ° 'dir. Yani ne kanıtlamak gerektiğini bu.

Bir dik üçgenin yukarıdaki özelliklere ek olarak, bu ekleyebilirsiniz:

• bacaklarına karşı yalan keskin açılar;
• bacak herhangi birinden daha yüksek üçgen hipotenüs;
• hipotenüs fazla bacak toplamı;
• 30 derecelik açı ile karşısında bulunan üçgenin bacak hipotenüs yarısı, onun yarısına eşittir.

geometrik şeklin başka bir özelliği olarak, Pisagor teoreminin ayırt edilebilir. O 90 derece (dikdörtgen) 'lik bir açı ile bir üçgen içinde, bacak karelerinin toplamı hipotenüs kare eşit olduğunu iddia etmektedir.

ikizkenar üçgen açılarının toplamı

Daha önce bir ikizkenar üçgen iki eşit kenara içeren üç köşede bir poligon olduğunu belirtti. Bu özellik, geometrik şekil bilinmektedir: tabanında açılar eşit. Bize bu ispat edelim.

onun tabanını - ikizkenar, SC olduğunu üçgen KMN ele alalım. Biz o ∟K = ∟N kanıtlamak için gereklidir. Yani, bize bu MA varsayalım - KMN bizim üçgenin açıortay olduğunu. Eşitlik ilk işareti ile ICA üçgen üçgen MNA olduğunu. Yani, hipoteze CM = NM, MA, ∟1, = ∟2 yaygın bir yan olduğu göz önüne alındığında MA - çünkü bu açıortay. iki üçgen eşitliğini kullanarak, bir ∟K = ∟N ileri sürülebilir. Bu nedenle, teoremi kanıtlanmıştır.

Ama biz bir üçgenin (ikizkenar) açılarının toplamı ne ilgilenen. bu açıdan onun özelliklere sahip olmadığından, daha önce bahsettiğimiz teoremi başlayacak. Bu diyebiliriz olduğunu ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ya da 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N gibi). Bir üçgenin açılarının toplamına teoremi daha önce kanıtlamış oldu gibi bu özelliğini ispat olmayacaktır.

Bir üçgenin köşelerinden kabul özelliklerine dışında, aynı zamanda önemli ifadeler vardır:

• olarak bir eşkenar üçgen yüksekliği, taban düşürülmesinden, eşit kenarı arasında ve açı medyan açıortay eşzamanlı olarak simetri ekseni tabanının;
• bir geometrik şekil yanlarına tutulur ortanca (açıortay, yükseklik), eşittir.

eşkenar üçgen

Aynı zamanda sağ denir, tüm taraflara eşit üçgenden oluşuyor. Ve bu nedenle de eşit ve açıları. Bunların her biri 60 derecedir. Bize bu özelliği ispat edelim.

bize bir üçgen KMN olduğunu varsayalım. Biz KM = HM = KH biliyoruz. Bu, bir eşkenar üçgen ∟K = ∟M = ∟N de tabanında yer açıları özelliğine göre, olduğu anlamına gelir. + = 180 ° üçgen teoremi ∟K + ∟M ∟N açılarının toplamına göre, yana, o zaman x 3 = 180 ° ∟K veya ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Bu nedenle, iddia kanıtlanmıştır. Yukarıdaki teoremine göre yukarıda belirtilen belgelerin de görüleceği üzere, açıların toplamı , eşkenar üçgen, diğer herhangi bir üçgen açılarının toplamı olarak 180 derecedir. Yine bu teoremi ispat gerekli değildir.

bir eşkenar üçgen karakteristik bazı özellikleri hala vardır:

• Medyan açıortay geometrik şekildeki yüksekliği aynıdır, ve bunların uzunluğu (bir x √3) şu şekilde hesaplanır: 2;
• Bu çokgen daire çevreleyen, daha sonra yarıçapı (a x √3) eşit olacaktır: 3;
• Bir daire eşkenar üçgen içinde yazılı ise, kendi yarıçapı (a x √3) olacaktır: 6;
• (A2 x √3): geometrik şeklin alanı, aşağıdaki formül ile hesaplanır 4.

Kalın kafalı üçgen

Tanım olarak, bir geniş açılı üçgen, köşelerinden biri 90 ila 180 derece arasındadır. Ancak keskin bir geometrik şekil ve diğer iki açı, bunların 90 dereceden daha fazla olmadığı sonucuna varılabilir gerçeği göz önüne alındığında. Bu nedenle, bir üçgen teoremi açıların toplamı, bir geniş açılı üçgen açıların toplamını hesaplayarak çalışır. Yani, biz güvenle Bir üçgenin geniş açıları toplamının 180 derece olduğunu yukarıdaki teoremi dayalı söyleyebiliriz. Yine, bu teoremi yeniden kanıt gerekmez.